!!abstract,linked gloses,internal links,content,dynamic examples,...
!set gl_author=Euler, Acadmie de Versailles
!set gl_keywords=complex_number
!set gl_title=Forme trigonomtrique d'un nombre complexe non nul
!set gl_level=H5 STI2D STL, H6 S
:
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<div class="wims_defn"> <h4>Dfinition</h4>
Soit \(r\) un nombre rel strictement positif
et <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi></math>
un nombre rel.<br/>
Soit \(z\) le nombre complexe de module \(r\) et d'argument
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi></math>.<br/>
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mrow>
   <mi>r</mi>
   <mo>&#8289;</mo>
   <mo>(</mo>
   <mrow>
    <mrow>
     <mi>cos</mi>
     <mo>&#8290;</mo>
     <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
    </mrow>
    <mo>+</mo>
    <mrow>
     <mi fontstyle='normal'>i</mi>
     <mo>&#8290;</mo>
     <mi>sin</mi>
     <mo>&#8290;</mo>
     <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
    </mrow>
   </mrow>
   <mo>)</mo>
  </mrow>
 </mrow>
</math> est une <strong>forme trigonomtrique</strong> de \(z\).
</div>
<div class="wims_thm"> <h4>Thorme 1</h4>
Un complexe non nul \(z\) possde une infinit de formes trigonomtriques.<br/>
Si <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>r</mi>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mrow>
   <mo>(</mo>
   <mrow>
    <mrow>
     <mi>cos</mi>
     <mo>&#8290;</mo>
     <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
    </mrow>
    <mo>+</mo>
    <mrow>
     <mi fontstyle='normal'>i</mi>
     <mo>&#8290;</mo>
     <mi>sin</mi>
     <mo>&#8290;</mo>
     <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
    </mrow>
   </mrow>
   <mo>)</mo>
  </mrow>
 </mrow>
</math> et <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
 <msup>
  <mi>r</mi>
  <mo>&#8242;</mo>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mrow>
   <mo>(</mo>
   <mrow>
    <mrow>
     <mi>cos</mi>
     <mo>&#8290;</mo>
     <msup>
     <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
     <mo>&#8242;</mo>
  </msup>
    </mrow>
    <mo>+</mo>
    <mrow>
     <mi fontstyle='normal'>i</mi>
     <mo>&#8290;</mo>
     <mi>sin</mi>
     <mo>&#8290;</mo>
     <msup>
     <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
     <mo>&#8242;</mo>
  </msup>
    </mrow>
   </mrow>
   <mo>)</mo>
  </mrow>
 </mrow>
</math> sont deux formes trigonomtriques de \(z\), alors
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
   <mi>r</mi>
   <mo>=</mo>
   <msup><mi>r</mi>
   <mo>&#8242;</mo>
  </msup>
  </mrow>
  </math> et il existe un entier relatif \(k\) tel que
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <msup>
   <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
   <mo>&#8242;</mo>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
   <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
   <mo>+</mo>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mi>k</mi>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mi fontfamily='Times New Roman' fontstyle='normal'>&#960;</mi>
   </mrow>
  </mrow>
 </mrow>
</math>.
  </div>

 <div class="wims_thm"> <h4>Thorme 2</h4>
 Soit \(z\),
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <msub>
  <mi>z</mi>
  <mn>1</mn>
 </msub>
</math>,
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <msub>
  <mi>z</mi>
  <mn>2</mn>
 </msub>
</math> trois nombres complexes non nuls de formes trigonomtriques respectives
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>r</mi>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mrow>
   <mo>(</mo>
   <mrow>
    <mrow>
     <mi>cos</mi>
     <mo>&#8290;</mo>
     <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
    </mrow>
    <mo>+</mo>
    <mrow>
     <mi fontstyle='normal'>i</mi>
     <mo>&#8290;</mo>
     <mi>sin</mi>
     <mo>&#8290;</mo>
     <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
    </mrow>
   </mrow>
   <mo>)</mo>
  </mrow>
 </mrow>
</math>,

<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
 <msub>
  <mi>r</mi>
  <mn>1</mn>
  </msub>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mrow>
   <mo>(</mo>
   <mrow>
    <mrow>
     <mi>cos</mi>
     <mo>&#8290;</mo>
     <msub>
     <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
     <mn>1</mn>
  </msub>
    </mrow>
    <mo>+</mo>
    <mrow>
     <mi fontstyle='normal'>i</mi>
     <mo>&#8290;</mo>
     <mi>sin</mi>
     <mo>&#8290;</mo>
     <msub>
     <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
     <mn>1</mn>
  </msub>
    </mrow>
   </mrow>
   <mo>)</mo>
  </mrow>
 </mrow>
</math> et

<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
 <msub>
  <mi>r</mi>
  <mn>2</mn>
  </msub>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mrow>
   <mo>(</mo>
   <mrow>
    <mrow>
     <mi>cos</mi>
     <mo>&#8290;</mo>
     <msub>
     <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
     <mn>2</mn>
  </msub>
    </mrow>
    <mo>+</mo>
    <mrow>
     <mi fontstyle='normal'>i</mi>
     <mo>&#8290;</mo>
     <mi>sin</mi>
     <mo>&#8290;</mo>
     <msub>
     <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
     <mn>2</mn>
  </msub>
    </mrow>
   </mrow>
   <mo>)</mo>
  </mrow>
 </mrow>
</math>.<br/>Alors :
<ul>
<li> <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mfrac>
   <mn>1</mn>
   <mi>z</mi>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
   <mfrac>
    <mn>1</mn>
    <mi>r</mi>
   </mfrac>
   <mo>&#8290;</mo>
   <mrow>
    <mo>(</mo>
    <mrow>
     <mrow>
      <mi>cos</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mrow>
       <mo>(</mo>
       <mrow>
        <mo>-</mo>
        <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
       </mrow>
       <mo>)</mo>
      </mrow>
     </mrow>
     <mo>+</mo>
     <mrow>
      <mi fontstyle='normal'>i</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mi>sin</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mrow>
       <mo>(</mo>
       <mrow>
        <mo>-</mo>
        <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
       </mrow>
       <mo>)</mo>
      </mrow>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo>)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mrow>
</math></li>
<li> <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mrow>
   <msub>
    <mi>z</mi>
    <mn>1</mn>
   </msub>
   <mo>&#8290;</mo>
   <msub>
    <mi>z</mi>
    <mn>2</mn>
   </msub>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
   <msub>
    <mi>r</mi>
    <mn>1</mn>
   </msub>
   <mo>&#8290;</mo>
   <msub>
    <mi>r</mi>
    <mn>2</mn>
   </msub>
   <mo>&#8290;</mo>
   <mrow>
    <mo>(</mo>
    <mrow>
     <mrow>
      <mi>cos</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mrow>
       <mo>(</mo>
       <mrow>
        <msub>
         <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
         <mn>1</mn>
        </msub>
        <mo>+</mo>
        <msub>
         <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
         <mn>2</mn>
        </msub>
       </mrow>
       <mo>)</mo>
      </mrow>
     </mrow>
     <mo>+</mo>
     <mrow>
      <mi fontstyle='normal'>i</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mi>sin</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mrow>
       <mo>(</mo>
       <mrow>
        <msub>
         <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
         <mn>1</mn>
        </msub>
        <mo>+</mo>
        <msub>
         <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
         <mn>2</mn>
        </msub>
       </mrow>
       <mo>)</mo>
      </mrow>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo>)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mrow>
</math></li>
<li><math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mfrac>
   <msub>
    <mi>z</mi>
    <mn>1</mn>
   </msub>
   <msub>
    <mi>z</mi>
    <mn>2</mn>
   </msub>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
   <mfrac>
    <msub>
     <mi>r</mi>
     <mn>1</mn>
    </msub>
    <msub>
     <mi>r</mi>
     <mn>2</mn>
    </msub>
   </mfrac>
   <mo>&#8290;</mo>
   <mrow>
    <mo>(</mo>
    <mrow>
     <mrow>
      <mi>cos</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mrow>
       <mo>(</mo>
       <mrow>
        <msub>
         <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
         <mn>1</mn>
        </msub>
        <mo>-</mo>
        <msub>
         <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
         <mn>2</mn>
        </msub>
       </mrow>
       <mo>)</mo>
      </mrow>
     </mrow>
     <mo>+</mo>
     <mrow>
      <mi fontstyle='normal'>i</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mi>sin</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mrow>
       <mo>(</mo>
       <mrow>
        <msub>
         <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
         <mn>1</mn>
        </msub>
        <mo>-</mo>
        <msub>
         <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
         <mn>2</mn>
        </msub>
       </mrow>
       <mo>)</mo>
      </mrow>
     </mrow>
    </mrow>
    <mo>)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mrow>
</math></li>
<li>pour tout entier naturel \(n\), <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <msup>
   <mi>z</mi>
   <mi>n</mi>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
   <msup>
    <mi>r</mi>
    <mi>n</mi>
   </msup>
   <mo>&#8290;</mo>
   <mrow>
    <mo>(</mo>
    <mrow>
     <mrow>
      <mi>cos</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mrow>
       <mo>(</mo>
       <mrow>
        <mi>n</mi>
        <mo>&#8290;</mo>
        <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
       </mrow>
       <mo>)</mo>
      </mrow>
     </mrow>
     <mo>+</mo>
     <mrow>
      <mi fontstyle='normal'>i</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mi>sin</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
       <mo>(</mo>
       <mi>n</mi>
 <mi fontstyle='normal'>&#952;))</mi>
 </mrow>
    </mrow>
   </mrow>
  </mrow>
 </mrow>
</math></li>
<li><math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mover>
   <mi>z</mi>
   <mi>&#8211;</mi>
  </mover>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
   <mi>r</mi>
   <mo>&#8290;</mo>
   <mrow>
    <mo>(</mo>
    <mrow>
     <mrow>
      <mi>cos</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mrow>
       <mo>(</mo>
       <mrow>
        <mo>-</mo>
        <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
       </mrow>
       <mo>)</mo>
      </mrow>
     </mrow>
     <mo>+</mo>
      <mi fontstyle='normal'>i</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mi>sin</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
       <mo>(</mo>
        <mo>-</mo>
        <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
       <mo>)</mo>
    </mrow>
    <mo>)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mrow>
</math></li>
<li><math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
  <mrow>
   <mo>-</mo>
   <mi>z</mi>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
   <mi>r</mi>
   <mo>&#8290;</mo>
    <mo>(</mo>
      <mi>cos</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
       <mo>(</mo>
        <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
        <mo>+</mo>
        <mi fontstyle='normal' fontfamily='Times New Roman'>&#960;</mi>
       <mo>)</mo>
     <mo>+</mo>
      <mi fontstyle='normal'>i</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
      <mi>sin</mi>
      <mo>&#8290;</mo>
       <mo>(</mo>
        <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
        <mo>+</mo>
        <mi fontstyle='normal' fontfamily='Times New Roman'>&#960;</mi>
       <mo>)</mo>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
 </mrow>
</math>.</li>
  </ul>
  </div>
